Tangentes à une ellipse

Problème adapté de la banque nationale de sujets : https://www.education.gouv.fr/reussir-au-lycee/bns

Dans le fichier de géométrie dynamique suivant, le repère est orthonormé et on a représenté un logo constitué d’une ellipse \(\mathcal E\) et d’une partie de la courbe représentative d’une fonction \(f\).

1. Tracer les tangentes à l’ellipse \(\mathcal E\) aux points \(\text{A}(2~;3)\), \(\text{B}(0~;6)\), \(\text{C}(2~;9)\) et \(\text{D}(4~;6)\).
2. On admet que le point \(\text{F(3,2 ; 3,6) }\)est situé sur l’ellipse \(\mathcal E\) et qu’en ce point \(\text{F}\) le coefficient directeur de la tangente à l’ellipse \(\mathcal E\) est \(\dfrac{9}{8}\). Tracer cette tangente.
3. On donne l’expression de la fonction \(f : f(x)=\dfrac{225}{2~048}x^3−\dfrac{45}{128}x^2+185\). Vérifier que le point \(\text{F}\) appartient à la courbe représentative de \(��\).
4. On note \(f'\) la fonction dérivée de \(f\). Montrer que \(f'(x)=\dfrac{675}{2~048}x^2−\dfrac{45}{64}x\).
5. Peut-on dire qu’au point \(\text{F}\), l’ellipse et la courbe représentative de \(f\) ont la même tangente ?